I grafici interattivi riportati a seguire sono basati sono un semplice modello che descrive l’evoluzione di una epidemia. L’intera popolazione interessata è divisa in 4 sotto-popolazioni: contagiati (I), casi attivi (A), guariti (R) e deceduti (D).  L’utente può modificare cinque parametri di ingressi: tasso di mortalità dell’infezione (IFR), contagiosità (IS), numero iniziale di contagiati (InI), popolazione totale (P) e tempo medio contagio-morte (TD).  I grafici interattivi mostrano come il tempo di evoluzione di queste sotto-popolazioni sia influenzato dai valori selezionati dei parametri di ingresso.

La Figura 1 riporta gli andamenti temporali dei valori cumulativi per I(t), A(t), R(t), e D(t);

La Figura 2 descrive le variazioni giornaliere δI(t), δA(t), δR(t) e δD(t);

La Figura 3 mostra infine il tasso di mortalità dei casi rivelati CFR(t) definito come il rapporto D(t)/I(t).

Nell’osservare i dati ufficiali durante l’evoluzione di una vera epidemia, solo quote parziali delle quattro sotto-popolazioni sono rivelate e tutte le analisi sono realizzate esclusivamente considerando tali quote. La simulazione qui riportata si riferisce invece alla totalità dei casi che si verificano, indipendentemente dalla loro rivelazione.

Nel seguito, si mettono in evidenza alcune osservazioni di base, evidenti già ad un primo sguardo.

In Figura 1, mentre l’andamento temporale delle quattro sotto-popolazioni cambia a seconda dei parametri di ingresso, la relazione I(t) = A(t) + R(t) + D(t) rimane valida istante per istante.  Al termine dell’epidemia, I(t) converge ad un valore leggermente inferiore alla popolazione totale, in corrispondenza della cosiddetta immunità di gregge. A(t) è l’unica curva che converge a zero alla fine dell’epidemia, quando tutti i contagiati (I) sono o guariti (R) o deceduti (D).

Un valore elevato della contagiosità (IS) aumenta il picco dei casi positivi (A) e riduce tutte le scale temporali caratteristiche dell’epidemia. Un basso valore della contagiosità (IS) allarga invece il picco dei casi positivi (A), ritardando la fine dell’epidemia oltre il periodo di 200 giorni scelto come durata massima della nostra simulazione. Un numero iniziale alto (InI) di contagiati riduce anche esso tutto il periodo dell’evoluzione.

In Figura 2, possiamo osservare che le stesse dinamiche vengono riflesse nelle curve che descrivono i cambi giornalieri. Una volta ancora, risulta sempre valida la relazione δI(t) = δA(t) + δR(t) + δD(t). δA(t) è la sola quantità, tra tutte quelle considerate, che diventi negativa prima di convergere a 0. Un’elevata contagiosità rende molto stretti tutti i picchi, mentre un valore basso della stessa li allarga e rallenta l’evoluzione complessiva. Il picco dei decessi giornalieri δD(t) segue quello dei contagi giornalieri di un ritardo TD.

In Figura 3, osserviamo che la grandezza CFR(t)=D(t)/I(t) è fortemente dipendente dal tempo per ogni valore di TD. Ciò spiega perché l’apparente tasso di mortalità (decessi/contagi), evidenziato in tutte le statistiche, è ingannevolmente basso nelle prime fasi dell’epidemia, mentre cresce nelle fasi successive e in quella finale. Solo alla fine di una epidemia, ha luogo la convergenza CFR(t) → IFR. Questo effetto, spesso non tenuto in conto, è legato alla presenza del tempo di ritardo TD tra contagio e decesso. E’ lo stesso motivo che produce la presenza degli shift tra le curve δD(t) δI(t)in Figura 2.

Confronto tra simulazione ed epidemia reale.

La simulazione riportata in questa sezione è molto istruttiva a fini didattici, ma, alla pari dei modelli classici (come, ad esempio, il modello SIR), deve essere considerata con grande attenzione quando la si utilizza in relazione a dati epidemici reali. Come detto in precedenza, i dati epidemici reali si riferiscono solo a casi rivelati che possono rappresentare una porzione dei veri valori di I, A, R e D. Mentre si può assumere che l’errore su D rimanga piccolo, quello su I, A e R, può essere, come suggerito per l’epidemia COVID-19, superiore ad un ordine di grandezza.

Pur potendo essere tentati dall’applicare la simulazione per modellizzare solo i sotti-insieme dei casi rivelati, tale approccio non è in realtà rigoroso, perché i casi rivelati e non rivelati sono ovviamente accoppiati (ed esempio, i pazienti contagiati non rivelati possono contagiare nuovi pazienti che saranno poi rivelati; i guariti non emersi contribuiscono a formare l’immunità della popolazione e a far diminuire le nuove infezioni; e così via). Inoltre, i casi confermati e quelli nascosti hanno tipicamente un diverso tasso di mortalità, perché i contagiati che non emergono sono tipicamente quelli asintomatici o pauci-sintomatici.

Un’altra differenza tra i modelli e i casi reali è che, nei primi, il numero di pazienti contagiati (I) raggiungerà presto o tardi il livello dell’immunità di gregge, diventando quindi, confrontabile con la popolazione totale. Correzioni a questo tipo di modelli sono quindi necessarie e sono state recentemente proposte per simulare l’effetto del distanziamento sociale (lockdown) diretto a  impedire una diffusione ampia dell’infezione ad una larga parte della popolazione.

Per tutte queste ragioni, ci siamo astenuti finora da usare la nostra simulazione per modellizzare i dati dell’epidemia di COVID-19, considerandolo come uno strumento utile a migliorare la comprensione generale del problema.

Per commenti o domande contattateci all’indirizzo covid19@spin.cnr.it